Арифметична прогресія

15.12.2014 Катарина Канивец
1554 просмотров

Прогресія займає провідне місце у курсі алгебри 9 класу. Цю статтю присвятимо саме арифметичній прогресії. Одного дня вчителю математики потрібно було зробити на уроці термінову роботу і він дав учням завдання.

Потрібно було знайти суму перших ста чисел, тобто 1+2+3+…+98+99+100. До речі, це все відбувалося в третьому класі, в якому вчився маленький Гаус. Маленький Карл виписав числа в два ряди по 50 стовпців в кожному.

1+2+3+…+48+49+50
100+99+98+…+53+52+51

Потім побачив, що сума кожного стовпця дорівнює 101, а всього 50 стовпців. Тобто сума перших ста чисел дорівнює 50*101=5050. Уявіть собі реакцію вчителя, як третьокласник швидко порахував суму чисел!

Що ж таке арифметична прогресія? Це послідовність чисел, наприклад, 1,2,3,….,100, кожне наступне число більше від попереднього на одне й те саме число, яке називається різницею арифметичної прогресії. У нашому прикладі різниця дорівнює один, 2-1=3-2=…=99-98=100-99=1.

Тобто кожне наступне число в арифметичній прогресії більше за попереднє на різницю. Нехай перше число a1 , тоді друге a2=a1+d , де d – різниця, a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d, аналогічно a4=a1+3d…, an-1=a1+(n-2)d, an=a1+(n-1)d.Повертаємось до нашого прикладу, знайдемо десятий член нашої прогресії, зрозуміло, що перший елемент дорівнює 1.

a10=a1+9d=1+9*1=10

Сума арифметичної прогресії буде Sn=a1+an/2*n, тобто пів сума першого та останнього елементу помножена на кількість елементів. У нас це буде S100=(a1+a10)/2*100=(1+100)/2*100=5050

Також можна помітити, що кожен елемент, крім першого та останнього дорівнює пів сумі попереднього та наступного елементу. Розберемо на прикладі десятий елемент,

a10=a1+(10-1)d=a1+9d
a9=a1+(9-1)d=a1+8d
a11=a1+(11-1)d=a1+10d

3

Дослідимо це на нашому прикладі, у нас a9=9, a11=11
9+11/2=10 тобто десятий елемент дорівнює 10.

Якщо щось не зрозуміло, спробуйте прочитати дану статтю повільніше не спішачи, перегляньте відео, з перемоткою незрозумілих моментів назад. І у Вас все вийде.

Успіхів у вивченні математики!

Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti