Геометрична прогресія

15.12.2014 Катарина Канивец
945 просмотров

Цією статтею продовжуємо цикл статей про прогресію. Сьогодні детально розберемо геометричну прогресію.

Відома історія про винайдення шахів, цар запросив до себе того, хто винайшов шахи і запитав його, яку винагороду він хоче за винахід. Винахідник сказав, я хочу зерна, на одну клітинку шахової дошки поклади одну зернину, на другу – дві, третю – вісім, четверту – шістнадцять… Цар розсміявся з того, яку мізерну винагороду попросили за винайдення шахів. Але чи дійсно це так? Давайте розберемось!

Геометричною прогресією називається послідовність чисел, у якій кожне наступне число у одне й те саме число раз більше за попереднє. Це число називається знаменником геометричної прогресії. У нашій задачі маємо послідовність чисел 1,2,4,8,16…n. Поки будемо останній елемент позначати n, так як ми не знаємо скільки треба покласти зерна на останню 64-у клітинку.

Поділимо наступні значення на попередні 2/1=4/2=8/4=16/8=…=2 Знаменник дорівнює 2.
Згідно означення геометричної прогресії

b1
b2=b1q
b3=b2q=b1q2

.
.
.
bn=b1qn-1
(1)
Останній запис є формулою n – го члена геометричної прогресії.
У нашому прикладі знайдемо п’ятий елемент(точніше переконаємось, що він дорівнює 16), та 10.

b1=1, q=2
Маємо, b5=b1q4=1*24=16
b10=b1q10=1*29=512

Покажемо, що кожен член геометричної прогресії, крім першого та останнього дорівнює середньому геометричному попереднього елемента і наступного. Спочатку, переконаємось в цьому на конкретних елементах.
Запишемо три послідовні члени геометричної прогресії , нехай це буде третій,четвертий та п’ятий член.

4

Повернемось до нашого прикладу, 1,2,4,8,16,32,64….n

11
і так далі… Тобто ми показали, що

5 . (Спробуйте довести самостійно)

(2)
Знайдемо суму членів геометричної прогресії , записавши їх, використовуючи (1)

6 (3)
помножемо ліву і праву частину на q,

8
(4)
Віднімемо (4) від (3), у лівій частині винісши за дужки ,

9

Нарешті, ми зможемо знайти скільки зерна мав віддати цар,

10
Це дуже велике число, скільки зерна не було не тільки у всьому королівстві, а й по всій землі, навіть це більше ніж зібрали зерна за весь період.

Тому, щоб не попасти в таку ситуацію як цар – вчить математику!
Коротко про геометричну прогресію дивіться у відео уроці
Успіхів у вивченні математики!

Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti