Геометрична прогресія
Цією статтею продовжуємо цикл статей про прогресію. Сьогодні детально розберемо геометричну прогресію.
Відома історія про винайдення шахів, цар запросив до себе того, хто винайшов шахи і запитав його, яку винагороду він хоче за винахід. Винахідник сказав, я хочу зерна, на одну клітинку шахової дошки поклади одну зернину, на другу – дві, третю – вісім, четверту – шістнадцять… Цар розсміявся з того, яку мізерну винагороду попросили за винайдення шахів. Але чи дійсно це так? Давайте розберемось!
Геометричною прогресією називається послідовність чисел, у якій кожне наступне число у одне й те саме число раз більше за попереднє. Це число називається знаменником геометричної прогресії. У нашій задачі маємо послідовність чисел 1,2,4,8,16…n. Поки будемо останній елемент позначати n, так як ми не знаємо скільки треба покласти зерна на останню 64-у клітинку.
Поділимо наступні значення на попередні 2/1=4/2=8/4=16/8=…=2 Знаменник дорівнює 2.
Згідно означення геометричної прогресії
b1
b2=b1q
b3=b2q=b1q2
.
.
.
bn=b1qn-1
(1)
Останній запис є формулою n – го члена геометричної прогресії.
У нашому прикладі знайдемо п’ятий елемент(точніше переконаємось, що він дорівнює 16), та 10.
b1=1, q=2
Маємо, b5=b1q4=1*24=16
b10=b1q10=1*29=512
Покажемо, що кожен член геометричної прогресії, крім першого та останнього дорівнює середньому геометричному попереднього елемента і наступного. Спочатку, переконаємось в цьому на конкретних елементах.
Запишемо три послідовні члени геометричної прогресії , нехай це буде третій,четвертий та п’ятий член.
Повернемось до нашого прикладу, 1,2,4,8,16,32,64….n
і так далі… Тобто ми показали, що
. (Спробуйте довести самостійно)
(2)
Знайдемо суму членів геометричної прогресії , записавши їх, використовуючи (1)
(3)
помножемо ліву і праву частину на q,
(4)
Віднімемо (4) від (3), у лівій частині винісши за дужки ,
Нарешті, ми зможемо знайти скільки зерна мав віддати цар,
Це дуже велике число, скільки зерна не було не тільки у всьому королівстві, а й по всій землі, навіть це більше ніж зібрали зерна за весь період.
Тому, щоб не попасти в таку ситуацію як цар – вчить математику!
Коротко про геометричну прогресію дивіться у відео уроці
Успіхів у вивченні математики!
Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti
Цікаво почитати:
Новини:
