Геометрична прогресія

Цією статтею продовжуємо цикл статей про прогресію. Сьогодні детально розберемо геометричну прогресію.

Відома історія про винайдення шахів, цар запросив до себе того, хто винайшов шахи і запитав його, яку винагороду він хоче за винахід. Винахідник сказав, я хочу зерна, на одну клітинку шахової дошки поклади одну зернину, на другу – дві, третю – вісім, четверту – шістнадцять… Цар розсміявся з того, яку мізерну винагороду попросили за винайдення шахів. Але чи дійсно це так? Давайте розберемось!

Геометричною прогресією називається послідовність чисел, у якій кожне наступне число у одне й те саме число раз більше за попереднє. Це число називається знаменником геометричної прогресії. У нашій задачі маємо послідовність чисел 1,2,4,8,16…n. Поки будемо останній елемент позначати n, так як ми не знаємо скільки треба покласти зерна на останню 64-у клітинку.

Поділимо наступні значення на попередні 2/1=4/2=8/4=16/8=…=2 Знаменник дорівнює 2.
Згідно означення геометричної прогресії

b1
b2=b1q
b3=b2q=b1q²
.
.
.
bn=b1q^n-1
(1)
Останній запис є формулою n – го члена геометричної прогресії.
У нашому прикладі знайдемо п’ятий елемент(точніше переконаємось, що він дорівнює 16), та 10.

b1=1, q=2
Маємо, b5=b1q⁴=1*2⁴=16
b10=b1q¹⁰=1*2⁹=512

Покажемо, що кожен член геометричної прогресії, крім першого та останнього дорівнює середньому геометричному попереднього елемента і наступного. Спочатку, переконаємось в цьому на конкретних елементах.
Запишемо три послідовні члени геометричної прогресії , нехай це буде третій,четвертий та п’ятий член.

Повернемось до нашого прикладу, 1,2,4,8,16,32,64….n

і так далі… Тобто ми показали, що

. (Спробуйте довести самостійно)

(2)
Знайдемо суму членів геометричної прогресії , записавши їх, використовуючи (1)

(3)
помножемо ліву і праву частину на q,

(4)
Віднімемо (4) від (3), у лівій частині винісши за дужки ,

Нарешті, ми зможемо знайти скільки зерна мав віддати цар,

Це дуже велике число, скільки зерна не було не тільки у всьому королівстві, а й по всій землі, навіть це більше ніж зібрали зерна за весь період.

Тому, щоб не попасти в таку ситуацію як цар – вчить математику!
Коротко про геометричну прогресію дивіться у відео уроці
Успіхів у вивченні математики!

Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti