Нескінченна прогресія

Цією статтею закінчимо цикл статей, присвячених прогресіям. В попередній статті ми розібрали геометричну прогресію. Наголосимо, що мова йшла про скінченну геометричну прогресію. Сьогодні поговоримо про нескінченну геометричну прогресію зі знаменником менше одиниці.

Розглянемо послідовність чисел:

Як ми бачимо, дана послідовність, є геометричною прогресією за означенням, тому що

ЇЇ перший член

, а знаменник

Як же знайти її суму? Проблема! Ми ж не можемо додати всі її елементи, оскільки їх неможливо порахувати!!!

Але знаємо, що для скінченної прогресії справедлива наступна формула:

У нашій прогресії

Вся складність полягає у знаходженні

А тепер проведіть експеримент візьміть будь-яке число в межах (-1;1) і попідносьте до натуральних степенів, спочатку до другого, потім до третього, четвертого і так далі. І що ви помітили?

Правильно, чим більший степінь тим модуль числа менший.

Повертаючись до нашого прикладу:

Степені 0,5 це 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625….., підносячи й далі розуміємо, що чим степінь більший тим число менше, навіть

Здогадались,

Можна показати, що

Тому (2) перетворюється:

Повертаємось до нашої початкової задачі:

Тобто уявіть собі геометрична прогресія (1) нескінченна, а її сума число скінченне і дорівнює 2.

Для того, щоб перевірити себе спробуйте перевести десятковий періодичний дріб 0,(4) в звичайний дріб.

Нагадаємо, 0,(4)=0,444444…..=0,4+0,04+0,04+0,004+….
І утворилось, що …. ? Правильно, геометрична прогресія, з q<1 і q=0,1 суму якої ми вміємо рахувати.

Для кращого засвоєння спробуйте все це проробити самостійно.
А якщо Вас зацікавила дана тема, то більш глибше вона вивчається під час вивчення рядів, які в свою чергу вивчаються у ВУЗІ. Тому готуйтесь до вступу. Успіхів!

Також по даній статті є відео http://youtu.be/py8yc6QXW90.

Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti.