Нескінченна прогресія
Цією статтею закінчимо цикл статей, присвячених прогресіям. В попередній статті ми розібрали геометричну прогресію. Наголосимо, що мова йшла про скінченну геометричну прогресію. Сьогодні поговоримо про нескінченну геометричну прогресію зі знаменником менше одиниці.
Розглянемо послідовність чисел:
Як ми бачимо, дана послідовність, є геометричною прогресією за означенням, тому що
ЇЇ перший член
, а знаменник
Як же знайти її суму? Проблема! Ми ж не можемо додати всі її елементи, оскільки їх неможливо порахувати!!!
Але знаємо, що для скінченної прогресії справедлива наступна формула:
У нашій прогресії
Вся складність полягає у знаходженні
А тепер проведіть експеримент візьміть будь-яке число в межах (-1;1) і попідносьте до натуральних степенів, спочатку до другого, потім до третього, четвертого і так далі. І що ви помітили?
Правильно, чим більший степінь тим модуль числа менший.
Повертаючись до нашого прикладу:
Степені 0,5 це 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625….., підносячи й далі розуміємо, що чим степінь більший тим число менше, навіть
Здогадались,
Можна показати, що
Тому (2) перетворюється:
Повертаємось до нашої початкової задачі:
Тобто уявіть собі геометрична прогресія (1) нескінченна, а її сума число скінченне і дорівнює 2.
Для того, щоб перевірити себе спробуйте перевести десятковий періодичний дріб 0,(4) в звичайний дріб.
Нагадаємо, 0,(4)=0,444444…..=0,4+0,04+0,04+0,004+….
І утворилось, що …. ? Правильно, геометрична прогресія, з q<1 і q=0,1 суму якої ми вміємо рахувати.
Для кращого засвоєння спробуйте все це проробити самостійно.
А якщо Вас зацікавила дана тема, то більш глибше вона вивчається під час вивчення рядів, які в свою чергу вивчаються у ВУЗІ. Тому готуйтесь до вступу. Успіхів!
Також по даній статті є відео http://youtu.be/py8yc6QXW90.
Автор статті: Ткаченко Євген Миколайович, викладач навчального центру Enotti.
Цікаво почитати:
Новини:
